Curso - 5 aulas.

Resumo: O objetivo principal do curso será revelar a relação estreita entre a Análise de Fourier Clássica e a Teoria da Aproximação. A Teoria da Aproximação surgiu com os trabalhos de Chebyshev e de seus alunos e seguidores como Markov e Bernstein. A prova de Fejér da convergência uniforme das somas de Cesàro das séries de Fourier de funções contínuas, em 1900, revelou claramente o papel fundamental da convolução com núcleos somáveis como ferramenta para aproximar funções periódicas. Surpreendentemente, dois resultados fundamentais, um “positivo” e outro “negativo”, foram publicados em 1912 por Jackson e Bernstein. Jackson mostrou que toda função contínua e 2 periódica por ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos de ordem n com erro que não excede !(f; 1/n). Bernstein provou que a melhor ordem de aproximação não pode ser reduzida para menor do que a estabelecida por Jackson. Outro assunto importante, de sabor clássico, é a caracterização de certas classes de funções pela ordem de decrescimento de seu módulo de continuidade, por um lado, e pela velocidade de convergência de suas séries de Fourier. Vamos expor também alguns resultados da Análise de Fourier relacionados com a transformada de Fourier e densidade de algumas classes de funções, tais como os Teoremas de Wiener Tauberianos. Outro assunto que abordaremos será a classe importante de funções inteiras, a de Laguerre-Pólya, fornecendo várias caracterizações e o papel fundamental dos polinômios de Jensen como aparato fundamental para aproximação nesta classe.Discutiremos brevemente alguns assuntos sobre aproximação por funcionais lineares enfatizando os principais aspectos teóricos das fórmulas de quadratura.